图9. 共形变换保持局部形状。
瑟斯顿几何化猜想
为了证明庞加莱猜想，菲尔兹奖得主瑟斯顿推广了单值化定理到三维流形情形。任何三维流形，都可以经历一套标准手续分解成一系列的最为简单的三维流形，即所谓的素流形。素流形本身无法被进一步分解，同时这种分解本质上是唯一的。瑟斯顿提出了石破天惊的几何化猜想：所有的素三维流形可以配有标准黎曼度量，从而具有8种几何中的一种。特别地，单连通的三维流形可被配有正的常值曲率度量，配有正的常值曲率的3维流形必为3维球面。因此庞加莱猜想是瑟斯顿几何化猜想的一个特例。
图10. 瑟斯顿的苹果，几何化猜想。
图10显示了瑟斯顿几何化的一个实例。假设我们有一个苹果，三只蛀虫蛀蚀了三条管道，如左帧所示，这样我们得到了一个带边界的三维流形。根据几何化纲领，这个被蛀蚀的苹果内部容许一个双曲黎曼度量，使得其边界曲面的曲率处处为-1。我们将配有双曲度量的苹果周期性地嵌在三维双曲空间之中，得到右帧所示图形。
哈密尔顿的里奇曲率
本质的突破来自于哈密尔顿的里奇曲率流（Hamilton Ricci Flow）。哈密尔顿的想法来自经典的热力学扩散现象。假设我们有一只铁皮兔子，初始时刻兔子表面的温度分布并不均匀，依随时间流逝，温度渐趋一致，最后在热平衡状态，温度为常数。哈密尔顿设想：如果黎曼度量依随时间变化，度量的变化率和曲率成正比，那么曲率就像温度一样扩散，逐渐变得均匀，直至变成常数。如图11所示，初始的哑铃曲面经由曲率流，曲率变得越来越均匀，最后变成常数，曲面变成了球面。
图11. 曲率流使得曲率越来越均匀，直至变成常数，曲面变成球面。
在二维曲面情形，哈密尔顿和Ben Chow证明了曲率流的确将任何一个黎曼度量形变成常值曲率度量，从而给出了曲面单值化定理的一个构造性证明。但是在三维流形情形，里奇曲率流遇到了巨大的挑战。在二维曲面情形，在曲率流过程中，在任意时刻，曲面上任意一点的曲率都是有限的；在三维流形情形，在有限时间内，流形的某一点处，曲率有可能趋向于无穷，这种情况被称为是曲率爆破（blowup），爆破点被称为是奇异点（singularity）。
如果发生曲率爆破，我们可以将流形沿着爆破点一切两半，然后将每一半接着实施曲率流。如果我们能够证明在曲率流的过程中，曲率爆破发生的次数有限，那么流形被分割成有限个子流形，每个子流形最终变成了三维球面。如果这样，原来流形由有限个球粘合而成，因而是三维球面，这样就证明了庞加莱猜想。由此可见，对于奇异点的精细分析成为问题的关键。哈密尔顿厘清了大多数种类奇异点的情况，佩雷尔曼解决了剩余的奇异点种类。同时，佩雷尔曼敏锐地洞察到哈密尔顿的里奇流是所谓熵能量的梯度流，从而将里奇流纳入了变分的框架。佩雷尔曼给出了证明的关键思想和主要梗概，证明的细节被众多数学家进一步补充完成。至此，瑟斯顿几何化猜想被完全证明，庞加莱猜想历经百年探索，终于被彻底解决。
庞加莱猜想带来的计算技术
庞加莱猜想本身异常抽象而枯燥：单连通的闭3-流形是三维球面，似乎没有任何实用价值。但是为了证明庞加莱猜想，人类发展了瑟斯顿几何化纲领，发明了哈密尔顿的里奇曲率流，深刻地理解了三维流形的拓扑和几何，将奇异点的形成过程纳入了数学的视野。这些基础数学上的进展，必将引起工程科学和实用技术领域的“雪崩”。比如，里奇曲率流技术实际上给出了一种强有力的方法，使得我们可以用曲率来构造黎曼度量。
里奇曲率流属于非线性几何偏微分方程，里奇流的方法实际上是典型的几何分析方法，即用偏微分方程的技术来证明几何问题。几何分析由丘成桐先生创立，庞加莱猜想的证明是几何分析的又一巨大胜利。当年瑟斯顿提倡用相对传统的拓扑和几何方法，例如泰西米勒理论和双曲几何理论来证明，也有数学家主张用相对组合的方法来证明，最终还是几何分析的方法拔得头筹。