1、变分问题：有限元用于求解偏微分方程，但是偏微分方程形式多种多样，不像常微分方程，偏微分方程现在连分类都尚未完全弄清楚，最基础的分类为抛物线型、椭圆型、双曲型，这是最为基本的偏微分方程，一切的求解方法都要用它们来检验。
直接解析求解偏微分方程有困难，我们可以变换一种思路，退一步设法得到能够“逼近”精确解的“数值解”。为达此目的，需要首先将偏微分方程转换为变分形式，变分形式在数学上弱化了对偏微分方程精确解的要求，这实际上是将微分形式转化为了积分形式，能使变分达极值的函数就是偏微分方程的解。变分方程一般是积分的形式，要达到极小值，可见变分方程中的项具有“能量”含义，这样理解有助于构造更加广泛意义上的变分形式。
将偏微分方程变为变分形式，这是就可以应用瑞利－里兹法、伽列金法等。这是有限单元法的基础，但这是还没有引入任何的有限单元概念。
2、微分方程：微分方程描述了结构体、场的变化行为，唯物主义者认为世界是有物质构成的，场也是现实存在，也是物质，但是物质在一定的初始条件下，在外部的作用下，如何变化？，变化趋势是什么？能够达到系统稳定吗？这就需要用科学的手段并精确的描述，这也是人类认识世界的方法，方程的功能即出于此，当然这并不排斥其它的认识、描述客观物理世界的方法。
自从牛顿和莱布尼茨创造了微积分，人类认识并描述世界的方法发生了革命性的变化，这是一场认识论上的革命，微分的概念将人们的认识延伸到了无穷小，以至于在其中能将世界视为“静止不变”的，一切变化的物理量，在这个尺度内被“冻结”了。
微分方程一般说来出自于自然，它是自然世界的数学抽象，更为“狭义”一些是来自与物理或者力学，当然纯数学与几何上也有微分方程，不在此论。
对科学研究而言，自然世界的最高的法则是能量守恒法则、能量转换法则、能量最小法则、热力学原理等，微分方程描述了物质的运动规律，这种运动的规律与守恒律实际上是等价的，它是同一个问题的两个方面。理解这一点非常重要，有时人们只关注方程的直接求解，忽略了问题的另一面，就可能束缚我们的思路。
建立微分方程依靠特定物理问题所遵守的物理定律，比如动力学的牛顿第二定律、传热中傅立叶定律等，总之，微分方程是自然界物理运动规律的定量描述，它在科学的层面上是位于物理定律之后，它是科学研究的基础。
对于科学研究，有些科学家从事的是自然运动法则的发现，这些人大部分与实验相关，研究实验现象，发现或者验证定律，这是真正能够产生“原创”的工作，一个伟大的“定律”的发现，一定会开创一个新的研究领域。有趣的是几乎所有的定律都是“不复杂”的，数学形式上比较简单，这就是所谓的“简单性”法则，这也是科学的“美”，像牛顿第二定律，爱因斯坦质能方程等。另一部分科学家从事的是“科学定律”的“应用”，将其拓展到未知的领域，描述这个领域内的特定物理问题，物理定律和普遍法则相结合，如平衡法则、连续性法则、运动定律等，这就产生了方程，绝大部分体现为偏微分方程，这时数学抽象的工作就完成了，剩下的问题就是设法求解了，然而，求解并不容易，比如Ｎ体问题、Ｎ原子的薛定谔方程等等。
3、结构：这里的“结构”是指“机械结构”，有限元方的最初需求来自于人们对复杂大型结构受力分析，像飞机机翼的强度分析等，实际上有限元方法正因此而生，但是对于杆、梁、板、壳等，人们的认识已经比较深入，但是如何分析大型的结构还无成法，于是产生了结构的矩阵分析法，矩阵分析法所形成的方程就相当于有限元的总体刚度方程，方程的每一项都有明确的物理意义，这个方程实际上是虎克定律在Ｎ维空间上的推广，它是线性的。到后来建立了基于固体力学的广义变分原理，才奠定了有限元的数学理论基础。仔细想想，有限元的思想确实比较“奇妙”，要研究全局，首先要研究局部，这就是“单元”，分析单元之间的联系，一个单元只与和它几何相接的有关系，这就是固体力学中“圣文南”原理在离散结构中的应用。在哲学上，这样的思维很正常，但在结构分析上人们却走了很长的路，当然，这其中技术因素占却大部分。
结构形式多种多样，小到质量弹簧系统，大到原子反应堆、宇宙飞船，有限元方法提供了一个统一的求解方案，这种方案计算的结果还可以实验验证，形成了完整的“证据链条”，在可信度上得到支持，特别是广大的工程技术人员的支持，从而产生了巨大的应用空间，经过不断实践，不断发现新问题，又反过来促进了方法本身的发展，比如显式格式在冲击问题上的应用，ＸＦＥＭ在几何不连续结构中的应用等等。
4、物理场：场无所不在，概念广泛。现在有限元方法一般将非机械结构之外的场问题称为物理场，实际上，机械上位移、应力、应变、速度、加速度都是场，这样分，不外是标称问题不是针对机械结构。这样的场很多，热结构中温度场、流体中的压力速度场、声场、电磁场、渗流场等等。这些都与物理相关，因此称为物理场。将物理问题抽象为纯数学问题，去掉变量的物理含义、单元，就变成了纯数学问题，比如椭圆方程、调和方程，也可以应用有限元方法，这时有限元方法往往更关注精度分析、收敛性分析等。
5、多物理场：物理场的有限元计算针对的是单一因素，比如计算温度场计算，不关心应力，当然这是问题所需。随着科学技术的不断发展，或者人们需要更加精细的分析结构，同时考虑所有外界因素的作用，或者将所研究系统的外延扩大，这样就需要考虑不同因素的耦合作用，典型问题如：变温产生应力、压电体中的力－电作用、流体－固体耦合作用等。这种问题可以分为两类，一是“松耦合”，几种因素对结构的作用可以被完全分开，不如温度产生应力，可以先计算温度场，应力场是衍生计算出来，在刚度方程中表现为非对角线上没有不同因素的作用项；二是“紧耦合”，表现在多种因素在界面上存在互相作用，因素一的计算依赖于因素二，可反之，或者结构上同一个点的自由度包含多种类型物理量，物理量之间互相依赖，前者是扩大了系统的外延，后者是增加了节点的自由度。毫无疑问，这时非对角线上存在相互作用项。设法消除这中互相影响的过程称为“解耦”，解耦靠增加自由度，或者空间变换，比如结构动力学问题，将分布的、离散的空间，变换到主空间，在主空间上，各个节点互相独立。解耦是非常复杂的，绝大部分时间是几乎不可能的，解耦几乎完全是数学问题，成功的解耦发现科学价值巨大。现在，多物理场问题的求解已经比较成熟，大量的ＣＡＥ软件应用即是明证，不同物理因素的互相作用的非线性因素可能是未来的发展方向，但这取决于不同物理因素之间非线性作用的物理研究、发现。
以上文章被中国计算网收录于2018年12月5日，转自http://blog.sina.com.cn/westernwind，欢迎CAE行业与计算机行业人士投稿于中国计算网
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